Formas de la ecuacion de la recta

Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen

Tómese sobre la recta los puntos P₁(x₁, y₁),P₂ (x₂, y₂) y P₃ (x_3, y₃). Al proyectar los puntos P_1, P₂ y P₃ sobre el eje x, se obtienen los puntos P’₁, P’₂, P’₃.
Como los triángulos OP₁P’₁, OP₂P’₂ y OP₃P’₃ son semejantes; se tiene que: 

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)
 
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. 

Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y 

Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas 
P’’(x, Y), Y  y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:
Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida

Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene: y – y1 = m(x – x1) (3) La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta. Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:  y = mx + (y1 – mx1). Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por: b = y1 – mx1

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂)



Como l pasa por el punto P₁(x₁, y₁) y tiene pendiente m₁, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que 
                           y – y₁ = m₁ (x – x1)    (1)
representa la ecuación de dicha recta.
Ahora, como el punto P₂(x₂, y₂) l, entonces satisface su ecuación.
Esto es y₂ – y₁ =; de donde  (2)
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene
(3) 
La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.